Otimização de áreas e perímetros com funções

Matemática, 2ª série: Otimização de áreas e perímetros com funções

1. Uma chapa de alumínio de 30 cm de largura e vários metros de comprimento será dobrada para formar uma calha de seção retangular, aberta em cima. Dobram-se x centímetros de cada lado, para cima, como mostra a seção transversal na figura.

   

   Para que a calha transporte a maior quantidade de água possível, a área da seção deve ser máxima. Isso ocorre quando x vale:

   1. a5 cm
   2. b7,5 cm
   3. c10 cm
   4. d15 cm
   5. e22,5 cm

2. O lado de um terreno quadrado foi aumentado em 3 m, e, com isso, a área do terreno aumentou 39 m².

   A medida original do lado do terreno era de:

   1. a3 m
   2. b4 m
   3. c5 m
   4. d6 m
   5. e13 m

3. A área de um hexágono regular de lado ℓ é A(ℓ) = (3√3/2) · ℓ². Com √3 ≈ 1,73, foram calculados alguns valores.

   ℓ (cm)	1	2	3
   A (cm²)	2,6	10,4	23,4

   Se o lado de um hexágono regular for triplicado, sua área ficará:

   1. atriplicada
   2. bmultiplicada por 6
   3. cmultiplicada por 27
   4. daumentada em 3 cm²
   5. emultiplicada por 9

4. O gráfico mostra, para um quadrado de lado ℓ (em metros), o valor numérico do perímetro P(ℓ) = 4ℓ e da área A(ℓ) = ℓ², para 0 ≤ ℓ ≤ 7.

   

   Os valores de ℓ para os quais o número que expressa a área, em m², é maior que o número que expressa o perímetro, em m, são:

   1. aℓ > 4
   2. b0 < ℓ < 4
   3. cℓ > 2
   4. dℓ > 16
   5. enenhum, pois a área nunca supera o perímetro

5. Um designer quer recortar um triângulo retângulo em uma placa, de modo que a soma das medidas dos dois catetos seja 10 cm.

   A maior área possível para esse triângulo é de:

   1. a5 cm²
   2. b10 cm²
   3. c12 cm²
   4. d12,5 cm²
   5. e25 cm²

6. Um fogo de artifício é lançado verticalmente do chão e programado para explodir no ponto mais alto da trajetória. Sua altura, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 30t − 5t².

   O fogo explodirá:

   1. a1,5 s após o lançamento, a 33,75 m de altura
   2. b3 s após o lançamento, a 45 m de altura
   3. c3 s após o lançamento, a 90 m de altura
   4. d6 s após o lançamento, a 0 m de altura
   5. e6 s após o lançamento, a 180 m de altura

7. O custo diário C, em reais, de uma oficina para produzir x peças é C(x) = 0,5x² − 40x + 1.000, para 0 ≤ x ≤ 80.

   A quantidade de peças que torna o custo mínimo e o valor desse custo são:

   1. a0 peça e R$ 1.000,00
   2. b20 peças e R$ 400,00
   3. c40 peças e R$ 200,00
   4. d40 peças e R$ 1.000,00
   5. e80 peças e R$ 1.000,00

8. Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo com catetos de 6 m e 8 m. Nele será construída uma piscina retangular com dois lados sobre os catetos e um vértice P sobre a hipotenusa, como na figura.

   

   A maior área possível para a piscina é de:

   1. a8 m²
   2. b9 m²
   3. c12 m²
   4. d16 m²
   5. e24 m²

9. Considere hexágonos regulares de lado ℓ, em centímetros. O perímetro é P(ℓ) = 6ℓ e a área é A(ℓ) = (3√3/2)ℓ². Use √3 ≈ 1,73.

   a) Complete uma tabela com P e A para ℓ = 1, 2, 4 e 8.

   b) Classifique cada função (afim, linear, quadrática, exponencial) e descreva o formato de cada gráfico para ℓ > 0.

   c) Para qual valor de ℓ os números que expressam P (em cm) e A (em cm²) são iguais? Mostre o cálculo.

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