Princípio de Cavalieri e o cálculo de volumes

Matemática, 2ª série: Princípio de Cavalieri e o cálculo de volumes

1. O princípio de Cavalieri afirma que dois sólidos de mesma altura têm volumes iguais quando:

   1. aeles têm a mesma forma, ainda que suas alturas sejam diferentes
   2. bsuas superfícies laterais têm a mesma área, quando planificadas
   3. cqualquer plano paralelo às bases determina seções de mesmo perímetro
   4. deles têm o mesmo número de faces, de arestas e de vértices
   5. equalquer plano paralelo às bases determina, nos dois sólidos, seções de mesma área

2. Uma pilha reta de 50 moedas idênticas é empurrada de lado, ficando inclinada, sem que nenhuma moeda saia do lugar em relação às vizinhas, como mostra a figura.

   

   Comparando as duas pilhas, é correto afirmar que:

   1. ao volume da pilha inclinada é maior, pois ela fica mais comprida
   2. bo volume da pilha inclinada é menor, pois sua altura diminui
   3. cnão é possível comparar volumes de sólidos com formas diferentes
   4. dos volumes são iguais apenas se a inclinação for de 45°
   5. eos volumes são iguais, pois as seções na mesma altura são moedas iguais

3. Um cilindro oblíquo tem bases de raio 2 cm, geratriz de 6 cm e altura (distância entre os planos das bases) de 5 cm, como mostra a figura.

   

   Qual é o seu volume?

   1. a10π cm³
   2. b12π cm³
   3. c20π cm³
   4. d24π cm³
   5. e40π cm³

4. Um prisma de base hexagonal e um cilindro têm a mesma altura, de 10 cm, e bases de mesma área, 30 cm². Sobre seus volumes, é correto afirmar que:

   1. ao do cilindro é maior, pois a base circular não tem cantos
   2. bo do prisma é maior, pois sua base tem seis lados
   3. csão iguais a 100 cm³, pois deve-se dividir por 3
   4. dnão podem ser comparados, pois as bases têm formas diferentes
   5. esão iguais a 300 cm³, pelo princípio de Cavalieri

5. Um cubo de aresta 6 cm pode ser decomposto em 3 pirâmides congruentes, cada uma com base quadrada igual a uma face do cubo e altura igual à aresta. Qual é o volume de cada pirâmide?

   1. a24 cm³
   2. b36 cm³
   3. c72 cm³
   4. d108 cm³
   5. e216 cm³

6. Um prisma de base triangular pode ser decomposto em 3 pirâmides de base triangular com o mesmo volume. Essa decomposição, junto com o princípio de Cavalieri, serve para justificar:

   1. aa fórmula V = (1/3) · A_base · h para o volume de uma pirâmide
   2. ba fórmula V = A_base · h para o volume de um cilindro
   3. ca fórmula 4πr² para a área da superfície esférica
   4. do teorema de Pitágoras aplicado às faces do prisma
   5. ea fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo

7. Pelo princípio de Cavalieri, o volume de uma esfera de raio r é igual ao volume de um cilindro de raio r e altura 2r do qual se retiram dois cones, cada um com base de raio r e altura r. Usando esse resultado, qual é o volume de uma esfera de raio 3 cm?

   1. a18π cm³
   2. b27π cm³
   3. c36π cm³
   4. d54π cm³
   5. e72π cm³

8. Um cone tem base de raio 6 cm e altura de 12 cm. Um plano paralelo à base, a 4 cm dela, corta o cone, como mostra a figura.

   

   Qual é a área da seção obtida?

   1. a4π cm²
   2. b8π cm²
   3. c16π cm²
   4. d24π cm²
   5. e36π cm²

9. Duas caixas têm o mesmo volume. A primeira tem base de 20 cm por 10 cm e altura de 6 cm. A segunda tem base de 15 cm por 8 cm. Qual é a altura da segunda caixa?

   1. a8 cm
   2. b10 cm
   3. c12 cm
   4. d15 cm
   5. e20 cm

10. a) Usando o princípio de Cavalieri, explique por que um prisma oblíquo e um prisma reto com bases congruentes e mesma altura têm o mesmo volume. b) Calcule o volume de um prisma oblíquo cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm e cuja altura é 10 cm. c) Se a aresta lateral desse prisma mede 12 cm, por que ela não deve ser usada no cálculo do volume?

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